*** Fonction sinusoïdale

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\text{cos}(x)+\text{sin}(x)\).

1. Sur le fichier de géométrie dynamique ci-dessous, déplacer les curseurs pour trouver deux nombres réels \(\text{A}\) et \(\varphi\) tels que \(f(x)=\text{A}\times \text{cos}(x+\varphi)\).
2. On cherche une valeur exacte de \(\text{A}\) et de \(\varphi\).
    a. Exprimer \(\text{A}\times\text{cos}(x+\varphi)\) en fonction de \(\text{cos}(\varphi)\) et de \(\text{sin}(\varphi)\).
    b. En déduire que, pour avoir \(f(x)=\text{A}\times \text{cos}(x+\varphi)\), pour tout réel \(x\), il suffit d'avoir\(\text{A}\times \text{cos}(\varphi)=1\) et \(\text{A}\times \text{sin}(\varphi)=-1\).
    c. En déduire qu'il suffit d'avoir \(\text{A}\text{e}^{\text{i}\varphi}=1-\text{i}\).
    d. Écrire \(1-\text{i}\) sous forme exponentielle.
    e. Proposer une valeur exacte de \(\text{A}\) et de \(\varphi\) pour lesquelles on a bien \(f(x)=\text{A}\times \text{cos}(x+\varphi)\), pour tout réel \(x\).